小波变换的分析方法研究

第２卷第３期７２００９年８月　贵州师范大学学报（　自然科学版）Ｊｕｎｌｆｕｚｏ　ｏｍｌｎｅｓｙ（ａｒｌｃｎｅ）ｏｒａｏ　ｉｕＮｒａＵｉｒｔＮｔａＳｉｃｓ　Ｇｈ　ｖｉｕ　ｅ１２．．Ｖｏ．７Ｎｏ３Ａｕ　０９ｇ２０１４５０２０）３—１９一４０文章编号：０－５７（０９０００ｏ小波变换的分析方法研究张蔡方凯，松（四川成都６０３）成都电子机械高等专科学校通信系，１０１小波变换在数学、摘要：电子、小图像分析等领域有着广泛的应用，波变换的实质是生成特殊问题域中正交基的一哈尔小波基是具有紧支集的正交函数，套技术。本文对希尔伯特空间原理的基础内容进行了讨论，哈尔小波母”它构建了一个　（空间上的正交基，基由一个“函数直接生成，月）为使用哈尔小波基的例子来解释小波分析，　小波变换的工程应用进行探索。关键希小波；词：尔伯特空间；正交基哈尔；Ｏ７中图分类号：１７Ａ文献标识码：ｔｄ　ｎａａｙｉ　ｔｏ　ｆｗａｅｅ　ｒｎｆｒＳｕｙｏ　ｎｌｓｓｍｅｈｄｏ　ｖｌｔｔａｓｏｍ　ａｇｋｉＺＨＡＮＧ　ｏｇＣＡＩＦｎ—ａ，ＳｎＣｍｕｉａｏｓｐｎｉＤｍｅｔＣｅｇｕＥｅｒｅｈｎｃ　Ｈｇ，ｈｎｄ，ｉａ　１０１ＣｉｃｏａＣｈａ（ｏｍｎｃｔｎ　ｅａｔｎ，ｈｎｄ　ｌｔｍｃａｉｌｏｅｅＣｅｇｕＳｃｕｎ６０３，ｈｎ）ｓｒｃ：Ｗａｅｅ　ｒｎｆｒｉｗｌｌ　ｅｅ　ｎｍａｈｔｓｌｃｒｎｃｌｅｇｎｅｉｇｉｇ　ｒｃｓＡｂｔａｔａ　ｄｃｏｎｖｌｔｔｓｏｍ　ｓｉｙｕｓｄｉ　ｔｍａｉ，ｅｅｔｉａ　ｎｉｅｒ，ｍａｅｐｏｅｓｎ　Ｏｏｎｆｃ，ｗａｅｅ　ｒｎｓｏｍ　ｓａｔｃｎｌｇ　ｆｓｃａ　ｃｐ　ｆｑｅｔｎ　ｎｏｔｎｒｌ　ａｉ．ａｄＳ　ｎ．Ｉ　ａｔｔｏｖｌｔａｆｒｉ　　ｅｈｏｏｙｏ　ｐｅｉｌｓｏｅｏ　ｕｓｉｓｉ　ｒｈｏｏｍａｂｓｓｔ　　ｒｆｒｉｗｏ　ｅｆｎａｎａｓｆＨｌｒｓａｅｔｅｒｅｉｅｔ　Ａｆｒａｂｅ　ｖｅ　ｆｈ　ｕｄｍｅｔｌｏ　ｉｅｔｐｃ　ｈｏｙ，ｔｅｒｄｍｅｔ　ｆｖｌｔａａｙｉａｅｂｗａ　ｌｈ　ｕｉｎｓｏ　ｅｅｓｎｓｓｒ　ｌｓａｅ　ｙｔ　ｐｌｔ　ｆａｖｒｓｌｒｈｃｏｙｉｕｔｔｄｂ　ｅａｐｉａｉｎｏ　　ｅ　ｉｌ　ａｌ　ｆｃｍｐｃｌ　ｕｐｒｅ　ｒｏｏａ　ｕｃｉｎｙｙｈｍｏｍｐｅｆｍｉｏ　ｏａｔｓｐｏｔｄｏｔｎｒｌｆｎｔｓｎｗｎａ　　ａ　ａｉ．Ｔｓｆｌｉ　ｅｅａｅ　ｉｅｔｆｏａｈｍｙｙｔｒｕｃｉｏｎ　ｓｓｏ　ｏｋｏ　ｓｔｅＨａｒｂｓｓｈｉ　ａｉ　ｓｇｎｒｔｄｄｒｃｌ　ｒｍ　”ｍｏｈｅ”ｆｎｔｎａｄｉ　ｈｗｎｔｏｓｔ　ｎｏｔｏｍｌａｉｏ　（ｉｔｈ　ｓＬＴ　ｒｒ　ｕｐｓ　ｆ　ｔｙｉｔｅｌ　ｅａｐｉｔｎｈｃｎｔｕｅａ　ｒｎｒａｂｓ　ｆ２Ｒ）．ｅｐｉａｙｐｒｏｅｏ　ｅｓｄ　　　ｐｏｅｔ　ｐｌａｉｍｔｈｕｓｏｘｒｈｃｏｏｖｌｔｔｎｏｒｍｉ　ｎｉｅｒｎｆｗａｅｅ　ａｆｒ　ｎｅｇｎｅｉｇ．ｙｗｏｄ：ＨｉｅｔｓａｅＫｅ　ｒｓｂｖｌｔａ；ｏｔｎｒｌｂｓｈｍｌｒｐｃ；ｗａｅｅ；Ｈａｒｒｏｏａ　ａｉｓ在Ｈ空间中，问题会被生成为研究者感兴趣的空在间中的一个直交基，此空间中的方程式能够以基的方式解出。Ｈ空间技术对解线性常微分方“”同时允许求解者将某些偏微分方程简程特别有用，简化出的常微分方化成两个或者多个常微分方程，Ｊ为近似程通过分离的变量相互关联　。近年来，小波网络也得到了发展，任意非线性函数，尤其是以及基于后向繁殖学习算法的小波前馈神经网络，　０引言小波变换实际上是生成特殊问题域中正交基它的一套技术。小波变换是一种常用工具，把函算子和数据分开，数、小波放进不同频率的组件中，小　变换允许研究者分别研究每个组件。术语“波”是根据［ａｂｃｉ］１８ｅＤｕｅｈｓ在９２年形成的。小波分析Ｈ空间中的一般分析方法。被看作是希尔伯特（）　２０００收稿日期：０９—４—１四川省教育厅省部级重点学科项目（０Ａ１１基金项目：２４６）蔡方凯（９９一）男，作者简介：１６，重庆大足人，副教授，研究方向：无线通信。信号与信息系统、　０９ｌ贵州师范大学学报（　自然科学版）７卷第２很分解技术的发展，大的推动了小波网络的发　以上性质对任意内积空间均成立。　展［。类可最后，似空间中两个点的几何距离，以定在义一个均方度量来表征函数之间的距离。内积空　１希尔伯特空间分析ｄｇＩｆ间中的函　和ｇ的距离可以定义为：　，）＝Ｊ—　ｇｌｌ。内积空间中任意一个函数以正交基的形当正交基的维数增加时，以用该度量方式存在，可　法来论证函数的收敛性。线性算子的本征值可以通过解下面的方程找　ｙＹ∈ｏＬ到：＝Ａ　Ｄｍ（）　Ａ…，该方程可以决定存在的本征值Ａ，：．　然　　这Ａ，后找到相关的本征方程　，…．，组本征方程满足方程Ｌｙ，ｏＬｙ＝ＡＹ∈Ｄｍ（）。　）中不止有一个正交基。例如，Ｈ空间　（　傅立叶变换能生成Ｈ空间　（Ｒ）中４个分离的正直交基也能交基。通过确定特殊算子的本征空问，　被发现。这些本征空间的直接叠加就是算子的域，那假如算子的域是整个Ｈ空间，么可以找到该空３　。间中的一个基　¨２小波分析技术算Ｈ空间的主要价值在于，子可以用与之相关例如基函数。的本征空间来分析，　１１它哈尔基是一种直交基，９０年由哈尔发现，　是已知的最早的小波基。可在Ｈ空间分析中，以找到线性算子的本征空间联合，并确定这个空间的基。例如，以选择可某种带常系数的常微分方程来描述某种简单的谐振。本征空间的基可以很容易的由无限区间上的余　正弦函数、弦函数构成。对于对应问题域的基，哈尔基可以小波分析还提供了其它的意义。例如，母由一个公式形式的所谓“函数”生成。这个策略２　Ｊ是生成小波族的一般模式－。下面介绍一个方从　：法，合适的函数　生成小波族　．有对Ｈ空间分析过程做出正确的评价，助于　理解小波变换。Ｈ空间分析过程如下：．１１确定感兴趣的内积空间ＩＳ包闭个内积空间（Ｐ）含一个（的）向量空一令间和定义在该空间上的一个内积。例如，ｙ是定　）对该空间中，义在实数域（上的实函数集，于、，任意包含在集合　中的函数ｆｇｆ与ｇ的内积可　以定义为：，＜，ｇ＞；　）１（），我们称函数厂和函数ｇ直当＜厂ｇ＞＝０时，　交　。．１２定义感兴趣的Ｈ空间ｌ州函数　的范数以内积的形式给出，即ｌｆ　从类似于欧几里＜　＞。内积推导出的范数，使一　）德空间的长度。用这个范数，个Ｈ空间　（　Ｖ兰　川　Ｉ，可被定义为：（）　∈Ｖｌｌ　＜∞）很自在这个然，令Ｐ＝２的时候，感兴趣的空间包含在中所有平方可积的函数．１３指定一个Ｈ空间上的线性操作日空间上的线性算子Ｌ对所有包含其中的常和，，　数ｃ函数ｆｇ具有如下性质：　Ｌ＋ｇ（（））＝￡　＋ＬｇＬ（　＝ｃ∽这个算子被指定为两个部分，一部分通常，第Ｙ，是一个线性微分表达式　（）第二部分是一个被ｏＬ，独立指定的算子域Ｄｍ（）算子域来自于算子上确界定义了最大算子，大算子可能的上确界，最　会进一步被某些强制性的边界条件所限制。上面提到的矩阵一定是双线性矩再重复一下，　阵：．　）；口（　（＿ａ　一ｂｎ，ｏｏ）２（）。ｂ　。Ｒ对特别选择的　和口，，．构成　（）空间的一个正交基。特殊的，。ｂ　当取口＝２，。＝１时，存在　满足：．　一２　　）（２　—）ｍ，（～ｎ（　　）空间中的正交基。这是我凡ＥＺ）形成一个　（Ｊ们将会使用的生成函数　。哈尔基能在这个意义下，　由哈尔函数生成：ｆ＋ｂ，＞＝＜ｆ＜ａｇｈ　，ｈ＞＋ｂ＜ｇｈ＞，，ｇ＋ｂ＞＝口＜ｆｇ＞＋ｂ＜ｆｈ＞＜ｆａｈ，，正定性：且具有共轭对称性，　，　＜ｆｇ＞＝＜ｇ＞ＪＶ，ｎ（＜Ｊ）＜ｆ＞≥０ｆ∈Ｖａｄｆ＞＝０＝０　ｃｗｒ这些内积的性质可以用来证明Ｓｈａｚ不等　式以及三角不等式：＜，≤ＩｆｌＩ厂ｇ＞ＩＩＩｌ　ｌ＜，≤Ｉｆｌ１ｌ　ＩｇＩｆｇ＞ｌｌＩ＋Ｉ１１０第３期张　松：蔡方凯，小波变换的分析方法研究　－０≤　＜　）＝　　哈尔函数　枷一　ｌ　≤　＜ｌ０　ｔｅｗｓｏｈｒｉｅ　如图１所示：。【图２哈尔小波　．　）（实线）和　．ＩＩｌ　。．３虚线）１）：　Ｆｇ２Ｈａ　ｓｓｉ．ａｒｂａｉ．ｏ（ａｌｒ　ｎ）ｎ　）（ｅｌｉｅａｄ．．２Ｉｂｏｅ　ｎ）０．３ｉ０１１。（ｒｋｎｌｅｍ　＜８任意小数。，ｌ　∑Ｃｎ，ｌ　，为就换言之，是寻找一个部分和来逼近真在平方度量的意义上，我们概括一下该证明。值。在此，　２　）所因为任意函数ｆ∈Ｌ（是勒贝格可积的，图１哈尔函数　）ｉ．　ａｒｕｃｏｆｉ　）Ｆｇ１Ｈａ　ｎｔｎ妒（邶　为了构建一个由正交基构成的哈尔族函数．　必须满足下列条件：，　赋范的。①　．是直交的，　２Ｒ能被②任意ｆ∈Ｌ（）．　中的一部分扩展　计算出任意精度的近似值。我们检查直交性，首先，　．　的支持域很容易被看作Ｌ　ｔ２（＋１Ｊ，此可得出结论＜，２ｒ　ｎ）因　＞＝０当ｎ≠ｎ。　注意另外一个方面的具有相同刻度ｍ的哈尔小波不会重迭，问题，除非它们有相同的ｎ。这个性质可以导出积分：　２ｎ）一ｍ（＋１２一ｍｆ　Ｊ（一（一一１）＝一Ｊ２）２　，ｆ２　　２　ｏ２一　ｄ（）ｘ＝１有因此，＜＞＝　，　在不同刻度ｍ下检查直交性有一点困难。给出函数　．　和，，可得到支持域Ｌ　，　ｎ＋２ｎ２（）２＇２’ｎｔ）１］和Ｌ　／，　（　＋１Ｊ。对哈尔小波．。和这个紧支函以可知，能被一个紧支函数任意逼近，ｆ（＋１２］２数在区间Ｌ　，ｚ）　上是分段常数（对足够）大的支持和＿。令其恰恰重『选择两个紧连的区间，迭某个哈尔小波的区间，并用一个常数ｃ　。表示它们之间的差异。个过程不断重复，到，这直　的支持域被刻度为一　＋１的小波覆盖。然后，选择一：个常数ｃ扪使用刻度为一　＋２的小波覆盖，的　支持域。直到小波的支持域吞没　函数重复这个过程，的支持域，在每一点，连续小波开始表示（递减的）　这直部分和的总误差。个过程能够不明确的延伸，到达到给定的误差限。因此　可以被哈尔小波的部４Ｊ分序列任意逼近【。　３一个抽样应用．）刻度ｍ－（．．０时的４１２。个小波）的情况如图　如果ｍ＜ｍ那么２所示。很容易检查，　，的支．持域完全存在于是在，常数的区域中。因此，积分中，　．的支持被它自己取消。通过切换小波，ｍ对　＜ｍ我们能看到同样的事情。　用哈尔小波来表示一个熟悉的函数　）＝　ｎｉｗｓ２ｘ。使用熟悉的Ｈ空间方式来生成傅立叶一　哈系．＝　尔数ｃ去。　通过把内积显式的写成积分，有：ｃ，．，．＝　１ｒ１ｔ（＋）注意小波的高度是宽度的平方根分之一，结合　√＝２２Ｊ一　）２　一）ｘ　（一ｎｄ３（）Ｊｔ可前面的结果，得：＜　，，＞＝．＾　　。　因此，是紧支正交基小波。．　　　　…　＝（３）式也可写为：ｃ　有限数目的　对　　２尺被现在可以显示，任意ｆＥＬ（），扩展为．是可能的，此有：ｌ一　因Ｉ　去　｝一　】就ｏ　贵州师范大学学报（　自然科学版）７第２卷找到了ｆ它是在的傅立叶一哈尔系数，非常简单，ｆ图４一ａ中哈尔函数是紧支的阶梯函数。对称两个相邻有限域上积分的差值　。　的母函数是方波。注意＝哈尔函数已经在内积空间Ｄｌ０　Ｄ０　，ｄ２　　上面对函数ｆ系数可以由下式决的处理过程，　　）被赋范。小波框架函数可以立即被生成基￡（　函数族。这个基在单比特信号处理中被广泛应用，：定ｃｓ　＝＜ｉ以　　＞嘉　使用这个基来揭示小波变换的特性也是很有用的。　ｂ图４一是墨西哥草帽函数，这个对称原函数正好　如以　　ｓｒ］式分：ｉ前：ｉｘ该：ｎｘ　￣【　ｓ　一：）２ｄ，积　是高斯分布函数的二阶导：ｍｈ（）＝（一ｆ１可得：　／ｅｐ一ｔ）。这是给原函数赋范的一个简单）ｘ（２２Ｚ然　情况，后使用离散小波框架函数生成基函数族，ｃ＝２仃２一ｃｓ２（＋１一ｃｓ　ｎ２　［。竹　凡）２。２（　这个函数广泛应用在图像处理中。＋。２）ｃ　ｎ丢＋ｓ］使用该函数生成的结果，我们可以看到，．　３０区可ｉ￣ｎｘ。原在ｍ∈【．】间，以很好的近似ｓ２ｒ０１。该结果如图３函数的域为Ｅ，］　所示。ｔｌｒ图３当ｌｔ＞一４时。ｉ２ｖｓｑｎｘ的哈尔近似ｉ．ａ　ａｉ　ｌｓ　ｏＳｎ２Ｆｇ３Ｈａｒｂｓｓｃｏｅｔ　ｉ　ｈｎｍｗｅ　＞一４　下面讨论能生成直交族的平滑函数。一些适　合生成直交族的原函数如图４所示。　４结论小波变换实际上是生成特殊问题域中正交基小波分析能够在空间域和频率域，的一套技术，同小　时对信号进行多分辨分析，波变换在数学领域、图像分析等工程领域有着独立的起源和电子信息、使用ＶＳ电路实现小波变换的方法已经实发展，ＬＩ】小波变换的工程应用将更广泛。现　　，　　参考文献：１　ｙｒｖｌｔａｏｉｍｓｎ　ｐｌａｏｓＭ］Ｓｃ—ｓｇｔａｃｉ［］ＹＭｅｅ．Ｗａｅｅ　ｌｒｈ　ｄａｐｉｔｎ［．ｏｉ　ｔｆ　ｄｓｉ　ｎ　ｐｕｄＭａｍａｃ，１９．ｙｏＩｒｌｈｉｅ　ｒｎｕｔａａｄＡｐｅ　ｔｅｔｓ９３２ｈ，Ｑｎ　ｅｖｎｓ，ＡＷａｅｅｅｒ［］ｎｔ　ｗｋ　［］Ｚａｇ．ａｄＢｎｅｉｅ．ｖｌｔｎｔｏｓＪ．ＥＥＴａｓｎＮｕａｅｒｓ１９，６：８　ｗＩＥ　ｒｎ．Ｏ　ｅｒｌＮｔｏｋ，９２３（）８９—９．８８３［］杨福生．Ｍ］北科小波变换的工程分析与应用［．京：学１９．出版社，９９４孙立民，［］薛小平，武立中．Ｍ］北电应用泛函分析［．京：．Ｏ６２０．子工业出版社，０６　Ｏ＿４５［］魏明果．Ｍ］北实用小波分析［．京：北京理工大学出版２Ｏ．２０．社，０５　Ｏ０．６李国宽．［］徐长发，Ｍ］武汉：中理工大实用小波方法［．华－－２０．２０．学出版社，００＿４ｏ．ｉ［］ｌｎｈ，Ｄ，Ｗｅｔ７Ａｌｇ娜．　ｎ　ｅ，．Ｗａｅｅｒ—ｓ，Ｍ．ａｄＭｅｓＡ，“ｖｌｔｅｏｓｕｔｎｏｎｎｎａ　ｙａｉｓＪ．ｎ．．Ｂｕｃｔｎｒｉ　ｉｆｉｃｎｔｃｏ　ｆｏｌｅｒｄｎｍｃ［］ＩｔＪｉｒａｏｂ　ｎ　ｈｏ，９８８１）２９—２１ａｄＣａｓ１９，（１：１１２０．　图４哈尔小波基函数的一些常见应用函数ｉ．　ｏ　ｒｎｒｌｎｔｎ　ｏ　ａｒｂｓｓｈｆｉＦｇ４Ｓｍｅｏｔｏｏｍａ　ｕｃｏｓｆｒｈａ　ａｉ１ｌ２

文章来源：《齐齐哈尔大学学报（自然科学版）》 网址: http://www.qqhedxxb.cn/qikandaodu/2021/0505/605.html